Corrigé n°2 - Étudier l'état d'équilibre d'un système chimique

Q1. L'équation de cette réaction fournie par l'énoncé est :

\(\mathrm{Ag^+(aq)+C\ell^-(aq) \rightleftarrows AgC\ell(s)}\).

 Dans un état quelconque du système :

• \(\mathrm{AgC\ell(s)}\) est un solide pur, donc son activité chimique vaut \(a_{\mathrm{AgC\ell(s)}}=1\) ;
  
• \(\mathrm{Ag^+(aq)}\) et \(\mathrm{C\ell^-(aq)}\) sont des solutés, leurs activités chimiques respectives sont \(a_\mathrm{Ag^+(aq)}=\frac{[\mathrm{Ag^+]}}{C°}\) et \(a_\mathrm{C\ell^-(aq)}=\frac{[\mathrm{C\ell^-]}}{C°}\).
  

Le quotient de réaction dans un état quelconque du système est donc :

\(Q_\text{r}=\frac{(a_\mathrm{AgC\ell(s)})^{1}}{(a_\mathrm{Ag^+(aq)})^{1}\times(a_\mathrm{C\ell^-(aq)})^{1}}\) soit \(Q_\text{r}=\frac{1}{\frac{[\mathrm{Ag^+]}}{{C°}}\times\frac{[\mathrm{C\ell^-]}}{C°}}=\frac{(C°)^2}{[\mathrm{Ag^{+}]}\times[\mathrm{C\ell^-]}}\).

À l'équilibre chimique, on a donc \(Q_\text{r,éq}=\frac{(C°)^2}{[\mathrm{Ag^{+}]_{éq}}\times[\mathrm{C\ell^-]_{éq}}}\) et \(Q_\text{r,éq}=K\) donc il vient \(\frac{(C°)^2}{[\mathrm{Ag^{+}]_{éq}}\times[\mathrm{C\ell^-]_{éq}}}=K\).

Remarque pour la suite : si besoin, vous pouvez vous aider d'un tableau d'avancement.

D'après l'équation de réaction, les quantités de matière en réactifs restant à l'équilibre sont :

• \(n_\mathrm{Ag^{+},éq}=n_\mathrm{Ag^{+},i}-x_\mathrm{éq}=C_2\times V_2-x_\mathrm{éq}\) ;
  
• \(n_\mathrm{C\ell^{-},éq}=n_\mathrm{C\ell^{-},i}-x_\mathrm{éq}=C_1\times V_1-x_\mathrm{éq}\).

Le volume total de solution est \(V_\mathrm{tot}=V_\mathrm{1}+V_\mathrm{2}\) donc les concentrations en réactifs restant à l'équilibre sont :

• \(\mathrm{[Ag^{+}]_{éq}}=\frac{C_2\times V_2-x_\mathrm{éq}}{V_1+V_2}\) ;
  
• \(\mathrm{[C\ell^{-}]_{éq}}=\frac{C_1\times V_1-x_\mathrm{éq}}{V_1+V_2}\).
  

 On a donc \(\frac{\text{(C°)}^2}{\frac{C_2\times V_2-x_\mathrm{éq}}{V_1+V_2}\times\frac{C_1\times V_1-x_\mathrm{éq}}{V_1+V_2}}=K\).
On retrouve bien la relation fournie par l'énoncé, à savoir \(\frac{(V_1 + V_2)^2 (C^0)^2}{(V_1 C_1 - x_{eq})(V_2 C_2 - x_{eq})} = K\).

Cette équation du second degré en \(x_{eq}\) admet deux solutions mathématiques :

\(x_1 = 1 \times 10^{-4} \text{ mol} \text{ et } x_2 = 8,5 \times 10^{-5} \text{ mol}\)

La solution à retenir pour ce système chimique ne peut être que la plus petite des deux, c'est-à-dire \(x_2\).

Q2. L'énoncé indique qu'on constate "la formation immédiate d'un précipité blanc, solide identifié comme étant du chlorure d'argent". Les transformations modélisées par cette réaction sont donc rapides.

De plus, on a `x_"éq" = x_{max}`, donc la transformation chimique est totale.

En conclusion, le titrage des ions chlorure par les ions argent est une méthode adaptée.